Perqué i a mai d’una mena d’infinit: l’argument diagonal de Cantòr

Donam çai-jos una idèa de perqué los nombres racionals (fraccions) pòdon èsser enumerats, «comptats», es a dire que podèm far correspondre a cada racional un nombre entièr diferent; mentre qu’es impossible d’aquò far pels nombres reals, que fòrman doncas una infinitat mai bèla que la dels nombres racionals.

Cossí podèm enumerar los nombres racionals?

Georg Cantor (1845-1918)

Los nombres racionals, n’i a una infinitat, e contenon los entièrs naturals coma un cas particular. Pasmens podèm enumerar los nombres racionals: dire aquel es lo primièr, aquel lo segond, lo tresen, e arribar a donar a cadun un numèro demèst los entièrs… Se pòt pas far dins l’òrdre, evidentament: entre 0 e 1/2, o 0 e 1/4, o 0 e 1/8, i aurà totjorn una infinitat de nombres racionals. Per los desgrunar totes, i a una astúcia: imaginatz-vos los nombres entièrs 1, 2, 3… coma una tièra de socas de vinha, tota drecha, que s’arrèsta pas jamai. Digam l’ivèrn, que i aja pas de fuèlhas per amagar las socas. Un Occitan deuriá èsser capable d’aquò.

Mas las fraccions, sembla que n’i aja mai que non pas de nombres entièrs. Elas la representam coma un parelh de nombres: 1/2 es (1, 2), 7/53 es (7, 53)… Imaginem doncas tota una pèça de vinha. Après la primièira tièra ne metèm una segonda, puèi una tresena… e aquí tanpauc s’arrestarà pas jamai. Cada soca correspond a un parelh de nombres, sas coordenadas: lo primièr serà lo numèro de la tièra ont se tròba, lo segond son reng dins la tièra.

I sèm? Ara cal donar un numèro a cada soca. Se començatz a comptar long de la primièra tièra, arribaretz pas jamai solament a la segonda tièra. Quitament se vos daissan l’eternitat per complir la tasca. Lo metòde biaissut es de comptar 1 per la primièira soca de la primièra tièra. Puèi de passar a las doas pus pròchas: la segonda de la primièra tièra, e la primièira de la segonda, e comptar 2, 3. Puèi de comptar lors tres vesinas immediatas, tresena de la primièira tièra, segonda de la segonda, primièira de la tresena, que seràn las 4ena, 5ena, 6ena… Vesètz cossí podètz contunhar. Atal, se vos donan l’eternitat, ne vendretz al cap.

Perqué podèm pas enumerar los nombres reals?

Los nombres reals son figas d’un autre panièr. Cadun d’eles se pòt representar en escritura decimala coma una seguida infinida de chifras (de 0 a 9). Farem servir un desvolopament binari allòc de decimal, l’idèa es la meteissa, aurem doncas per cada nombre real una seguida infinida de 1 e de 0. Per exemple 1 es 1.0000…, 1/2 es 0.1000…, 4/3 es 1.0101… (mas aquò es mens evident).

Ensajem de los enumerar. Anam dire qu’avèm una tièra de socas tornamai, mas a cada soca pòt èsser de rasim blanc (0) o negre (1). Rasonem per contradiccion: supausem que los nombres reals se poguèsson enumerar. Alara metam-los en rengueta: òm pòt tornamai los imaginar coma una succession infinita de tièras de socas, una darrièr l’autra.

La contradiccion

L’argument diagonal de Cantor

Ara anam inventar una tièra de socas, en considerant la « diagonala », çò es la la primièra soca de la primièra tièra, la segonda soca de la segonda tièra, la tresena de la tresena tièra, e atal en seguida. Se la primièra soca de la primièra tièra es de rasim blanc, causirem coma color de nòstra primièra soca lo negre, e recipròcament. Agacham la segonda soca de la segonda tièra, tanben prenèm la color opausada per la segonda soca de nòstra tièra novèla. Contunham atal per la tresena soca, de color opausada a la de la tresena soca de la tresena tièra, e atal en seguida. La tièra novèla atal compausada pòt pas jamai coïncidir amb cap de las tièras ja arrengadas! Ça que la aquela tièra representa tanben un nombre real, e doncas se deuriá trobar demèst totas las tièras ja arrengadas. Doncas la nòstra lista dels nombres reals èra pas complèta. De qué far virar lo cap, quitament sens aver begut lo vin!
Aquel argument (qu’es pas complet tal coma presentat aicí, o sabi) es conegut coma argument diagonal de Cantòr. Al sègle XIX, Cantòr foguèt lo primièr a demostrar que i a mai d’una mena d’infinit.

Aquel article cort es un complement al tèxte pus long, «Quina vertat per las matematicas?», publicat dins L’ABC del saber numèro 4.